1月号－－－年末特別号問題解答

現在新ブログ（姉妹ブログ）「gontanoe」（これを検索）公開中！
　　　　
ダジャレ1月号！お待たせしました。1語だけですが、ダジャレ英単語アップします。（1/12記）

1）そんな不利な条約なんぞ、無理せんどさっさと撤廃してしまえ。⑫rescind(vt)
例文：The EPA said it will seek comment during a 60-day public-review period on whether "we would be obligated to rescind "the Obama-era rule if the agency adopts Friday's finding that the
regulation was not appropriate and necessary.(The Japan News 11/30)
※お断り：「リーゼント」と語呂合わせて、以前収載しているかもしれません。
下記は1/20記です。
2)捨てたす食おうとした揚げ物。体重現状維持できるように。〔ロックバンドではありません。れっきとした語句のようです。〕status  quo(名詞句）－－－　ラテン語からの単語のようですが、maintainと合わせて使われる場合が多い模様。

例文：It is also a fact that the rules have ensured a certain degree of order regarding job-hunting  and recruitment activities.Maintenance of the status quo can be considered a realistick  judgement.
読売新聞社説英語版「企業は秩序ある新卒採用を」(2018,11/4版）より。




下記からが、1/1に公開した部分です。
1月号－－－皆様明けましておめでとうございます。
　　　　　今月は、前回の解答を、その姉妹ブログに公開する予定でしたが、姉妹ブログの1月からの不具合の為、急きょこのダジャレブログに算数パズルの解答を掲載させていただきました。ダジャレもおいおい追加していきますのでどうぞ時折ご訪問下さい。

前号の答
 ー小学４年生以上ー
もんだい１：1,2,3や6,7,8のような、連続する三つの数の中には、必ず3で割り切れる数がある。　　　
　　　　　　　これは正しいと思いますか。
答：正しい。連続した数は、左側から順番に1だけ大きいです。いま、ある数が3で割り切れる数だと　　　　
　　　　　　　すると、つぎの数は1余る数で、つぎのつぎは2余り（これは3個連続した数の最後の数　　　　
　　　　　　　です。）その次の数は3個連続した数の次に現れる数で、あまりは3とも言えますが、あ  
                   まりは割る数より小さいというのが決まりで、3は商として一種の繰上りが起こり、商に　　　
　　　　　　　なった分の3は、商が1増加し、あまりは御破産でゼロになるわけです。
　　　　　　　なので3個連続すれば、そのうちの一つは必ず3でわりきれる数となります。
　　　　　　　図でしめすと下のようになります。（下線部の数が3個連続した数で、丸数字が3で割　　　
　　　　　　　り切れる数です。）

　　　　　　　1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、⑫、13、14、⑮、16、17－－－

　　　　　　　1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、⑫、13、14、⑮、16、－－－

　　　　　　　1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、⑫、13、14、⑮、－－－

もんだい２：1,2,3,4,5や7,8,9,10,11のような、連続する五つの数の中には、5で割り切れる数は必ず
                　ある。これは正しいと思いますか。
答:正しい。上のかいせつと同じように考えればわかりますね。

もんだい３：1,2,3,4,5や7,8,9,10,11のような、連続する五つの数を全て掛けてできた数を　
　　　　　　　割り切れる数が1を除いて、4個あります。それはどんな数ですか。
　　　　　　　か。但し2と3や2と4を掛けてできた数（合成数と言われています）は除外します。
答:2と3と5    ただし、五個のうちのいくつかを掛けてできた数はこの場合は除きます。例えば、
　　2×3、や4×5×3でも「必ず割り切れる数 」ということが出来ますが、あくまで1個の数に限定し、し
　　かもいくつかの数を掛けてできた一個の数（合成数）も、除きます。問題の出し方に不正確な
　　ところがありましたことをお詫びいたします。

もんだい４：1,2,3,4,5や7,8,9,10,11のような、連続する五つの数を全部かけてできた数は、必ずある
　　　　　　　100以上の数で割り切れます。その100以上の数はいくつですか。
答:120。連続する5個の数を掛けた数は、1と2と3と4と5を掛けた数120が最小となる。だから連続　
　　する数五個全てかければ120より大きな数になりますが、それらは必ず120で割り切れる数で
　　す。なぜなら上の問題で考えたように、かける五個の数の中には2,3,4,5で割り切れる数が全て
　　必ずふくまれているから、1×2×3×4×5の120で割り切れるはずだからです。



ー小学５年生以上ー
問１）『　ある、７より大きい整数と、その数－7、その数＋7、の三つの整数があります。このとき、こ　　
　　　　の三つの整数の中には必ず3の倍数（3で割り切れる数）がある。』これは正しいか正しくない　
　　　　ですか。
　　　　正しくないと答えるときは、三つの数とも３の倍数ではないものを言えばOKです。
答：正しい。7＝6+1とすると6は商（6÷3＝2の2が商に加わり、あまりは1となる）になるので、三つの　
　　数は連続する三つの数と同じことである。連続する三つの数の中には3の倍数が必ずあること　　
　　は、小学4年生の問題で解答済みです。

問２）『ある、7より大きい整数と、その数－6、その数＋6、の三つの整数があります。このとき、この
　　　　三つの整数の中には必ず3の倍数（3で割り切れる数）がある』これは正しいか正しくないで
　　　　すか。正しくないと答えるときは、三つの数とも３の倍数ではないものを言えばOKです。
答：正しくない。反証　：11、11－6＝5、11+6＝17　11,5,17の三つの数は全て3で割り切れない。（3
　　の倍数は存在しない。たす引く数が3の倍数ならば、あまりの数は一定で変わらない。）

ー中学２年生以上ー
問３）　　ｎ、ｍ（ｎ＞ｍ）を整数としたとき、次の式で表される数のうち、必ず3で割り切れるのはどれ　　　　
　　　　　でしょうか。
　　　　　　　　　　　　　　　ア）ｎの二乗－ｍの二乗
　　　　　　　　　　　　　　　イ）ｎ×（ｎの二乗－ｍの二乗）
　　　　　　　　　　　　　　　ウ）ｍ×（ｎの二乗－ｍの二乗）
　　　　　　　　　　　　　　　エ）ｎ×ｍ×（ｎの二乗－ｍの二乗）

解答：エ。ｎ×ｍ×（ｎの二乗－ｍの二乗）＝ｎ×（ｎ+ｍ）×ｍ×（ｎ-ｍ）
ここで、ｎ+ｍ、ｍ、ｎ-ｍ、は等間隔ｍの三数で、ｍが3の倍数でなければ3に限りなく近くなる3の倍数を引くことでｎ+ｍ、ｍ、ｎ-ｍ、の三数は連続数となりうる。またｎが3の倍数でなくｍが3の倍数であれば、与式は3の倍数ではない（例えば、ｍが6で、ｎが3で割ると2余る数なら、ｎ-ｍ、ｎ、ｎ+ｍのどれも3で割ると2余る数になる）ので、イは答えにはならない。以上で答がエである説明を終わります。

ー高校生以上（やや難問ですが、式の変形だけで可能です）ー
問４）次の式で表された数は、5の倍数であることを証明しなさい。ただし、ｎ、ｍは自然数です。
　　　　ｎｍ（ｎ＾2－ｍ＾2）（ｎ＾2＋ｍ＾2）
　　　また、ｎ＾2はｎの二乗（ｎを二回かけたもの）を意味します。以下に出てきたときは同じです。

答：ｎｍ（ｎ＾2－ｍ＾2）（ｎ＾2＋ｍ＾2）＝ｎ（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）(ｎ＾2＋ｍ＾2－5ｍ＾2+5ｍ＾2)
　　＝ｎ（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）（ｎ＾2－4ｍ＾2+5ｍ＾2）
　　＝ｎ（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）（ｎ－2ｍ）（ｎ＋2ｍ）+ｎ（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）5ｍ＾2
　　＝ｎ（ｎ－2ｍ）（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）（ｎ＋2ｍ）+5ｎ（ｎ－ｍ）ｍ（ｎ＋ｍ）ｍ＾2

上式の左下線部は五数の連続した数の積の項、右下線部は5の係数のある項で、共に5の倍数であるので、与式は5の倍数である。　証明終わり



ー大学生以上（上問が解ければ簡単です。）ー
問５）ピタゴラス数の一般式は、2ｎｍ、ｎ＾2－ｍ＾2、ｎ＾2＋ｍ＾2（ｎ、ｍは共に自然数で、ｎ＞ｍ）　で　
　　　表されますが、これら三数の積は60の倍数になる事を証明してください。

解答

　　2nm(m^2-n^2)(m^2+n^2)が60の倍数になる証明　　※ｍの二乗をｍ^2と表す。

（ピタゴラス数の三つの数は、2nm、m^2-n^2、m^2+n^2と表すことが出来ます。）

2nm(m^2-n^2)を与式1、証明しようとする式2nm(m^2-n^2)(m^2+n^2)を与式2とする。

①  ３の倍数になる理由　　　　　　　　　与式1＝2ｎ×（ｍ-ｎ）・ｍ・（ｍ+ｎ）　下線部は等間隔ｎの三個の数

で、ｎが3の倍数でないときは、三個の数の内いずれかは3の倍数になり、ｎが3の倍数のときは、与式は当然に3の倍数。以上から、与式は、常に3の倍数である。　

②  4の倍数になる理由

 (m^2-n^2)= (ｍ+ｎ)(ｍ-ｎ)で、m、ｎが共に奇数のときは、 ｍ+ｎ、ｍ-ｎは偶数なので与式は２×偶数×偶数で4の倍数。一方、m、ｎのどちらかが偶数ならば2nmは２×偶数で4の倍数。m、nが共に遇数であると、２×偶数×偶数で4の倍数。以上から与式は常に4の倍数となる。

③　５の倍数になる理由　　　　　　　　　　　　　　※ここに-5n^2を　

③５の倍数になる理由  　　　

与式1＝2nm(m^2+n^2-5n^2)+2nm・5n^2　　　

             ＝2nm(m^2-4n^2)+10mn^3

             ＝2nm(m+2n)(m-2n)+10mn^3            

＝2n (m+2n)・ m ・(m-2n)+10 mn^3

与式2＝2n(ｍ-2ｎ)・(ｍ-ｎ)・ ｍ ・(ｍ+ｎ)・(ｍ+2ｎ)+10 mn^3(m^2-n^2)。ここで、左式の下線部は等間隔ｎの五個の数であり、nが5の倍数でなければ、五個の数のうちの一つは5の倍数と言え、与式2は５の倍数の二項の和なので、5の倍数となる。一方nが5の倍数なら与式2は当然に5の倍数。

以上から与式2は3,4,5の約数を持つ、すなわち常に60の倍数となる。

ピタゴラス数の三数の積が60ということは、2nm,m^2-n^2,m^2+n^2　のどれかは3,4,5の倍数であるということで、このことが、難しい数学記号を使わず、式の変形だけで説明できたことが自慢です。

 

尚、数学サイトにはピタゴラス数の一般式の求め方、60の倍数になる証明法などいろいろ載ってはいます。ただ、それらは皆、背理法とか、整数論の合同式とか、皆難解で回りくどく、上記の解法が最もすっきりしていると自負します。　　　　　　　　　　　

 

 

 

以上で英単語ダジャレ集1月号をひとまず終了します。今月前半

 

によこひょこ出て来るダジャレ文にご期待下さい。